思索の遊び場 > 高杉親知の日本語内省記 > 無量大数の彼方へ

無量大数の彼方へ


ユニコード対応版

子供の頃、算数の教科書で大きい数の単位を知って感動した。日本語は素晴らしいと思ったが、実はこれらは全て中国から来たものだと後に知った。以下は日本語の数の表である。

100
いち
101
じゅう
102
ひゃく
103
せん
100
-
100
101
102
103
104
まん
104
一万
105
十万
106
百万
107
千万
108
おく
108
一億
109
十億
1010
百億
1011
千億
1012
ちょう
1012
一兆
1013
十兆
1014
百兆
1015
千兆
1016
けい
1016
一京
1017
十京
1018
百京
1019
千京
1020
がい
1020
一垓
1021
十垓
1022
百垓
1023
千垓
1024
[禾予]じょ
1024
[禾予]
1025
[禾予]
1026
[禾予]
1027
[禾予]
1028
じょう
1028
一穣
1029
十穣
1030
百穣
1031
千穣
1032
こう
1032
一溝
1033
十溝
1034
百溝
1035
千溝
1036
かん
1036
一澗
1037
十澗
1038
百澗
1039
千澗
1040
せい
1040
一正
1041
十正
1042
百正
1043
千正
1044
さい
1044
一載
1045
十載
1046
百載
1047
千載
1048
ごく
1048
一極
1049
十極
1050
百極
1051
千極
1052
恒河沙ごうがしゃ
1052
一恒河沙
1053
十恒河沙
1054
百恒河沙
1055
千恒河沙
1056
阿僧祇あそうぎ
1056
一阿僧祇
1057
十阿僧祇
1058
百阿僧祇
1059
千阿僧祇
1060
那由他なゆた
1060
一那由他
1061
十那由他
1062
百那由他
1063
千那由他
1064
不可思議ふかしぎ
1064
一不可思議
1065
十不可思議
1066
百不可思議
1067
千不可思議
1068
無量大数むりょうたいすう
1068
一無量大数
1069
十無量大数
1070
百無量大数
1071
千無量大数

すでに後漢の徐岳による数術記遺に、載までの単位が記されている。ただし垓の次は「[禾予]じょ」ではなく「」だった。この違いは後述する。単位の関係は下数、中数、上数という三方式があり、統一されていなかった。下数では、単位を 10 倍すると次の単位になる。中数では、単位を 108 倍すると次の単位になる。上数では、単位を 2 乗すると次の単位になる。一方、前漢代に完成した礼記らいきには「兆」を億の 104 倍として使う記述がある。これは数術記遺の中数とは異なる。礼記のように 104 倍すると次の単位になる中数を万進、数術記遺のように 108 倍すると次の単位になる中数を万万進と呼ぶ。以下にそれを示す。

名称
下数中数(万進)中数(万万進)上数
100
101
102
103
104
105104×2 = 108108×1 = 108104×2 = 108
106104×3 = 1012108×2 = 1016104×22 = 1016
107104×4 = 1016108×3 = 1024104×23 = 1032
108104×5 = 1020108×4 = 1032104×24 = 1064
109104×6 = 1024108×5 = 1040104×25 = 10128
1010104×7 = 1028108×6 = 1048104×26 = 10256
1011104×8 = 1032108×7 = 1056104×27 = 10512
1012104×9 = 1036108×8 = 1064104×28 = 101024
1013104×10 = 1040108×9 = 1072104×29 = 102048
1014104×11 = 1044108×10 = 1080104×210 = 104096

このうち、最も古いのは下数である。一、十、百、千、万と来れば、次に万の十倍の単位を考えるのは自然である。下数の問題は単位が多くなりすぎることだ。あまり使われない単位は理解されない可能性があり、実用に適さない。漢の人口は五千万人を越えており、このような大きな数は抽象的なものではなかったので、理解しやすい方式が必要だった。そのため、万を基準としてそれ以上を十万、百万と呼ぶ方式が自然に生まれてきたと考えられる。

上数では、万万が億、億億が兆、兆兆が京になるように、今までの単位で表現できなくなって初めて新たな単位が導入される。この方式は一見合理的だが、人間には理解しづらく、やはり実用的でない。例えば上数では 1030 が「百万億兆」になる。一方中数は十万、百万で用いたのと同じ方式なので最も理解しやすい。しかし、なぜか万進ではなく万万進が標準的になったので、やや複雑な表現となった。以下に各方式での数の呼び方を示す。

名称
下数中数(万進)中数(万万進)上数
104
108
1012万億万億
1016-
1020-万兆万兆
1024-億兆
1028-万京万億兆
1032-

十万億土などの仏教用語は、当時一般的だった万万進の中数を用いたものである。十万億は 1013 を意味する。

元の朱世傑による算学啓蒙で初めて、載を超える単位として極、恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思議、無量数むりょうすうが加わった。極以外は全て仏教に由来するものだが、元々の数と同じ数を表すわけではない。仏典の中では阿僧祇は那由他より大きいが、中国の数詞としては那由他のほうが大きい。これらの新しい数は中数のみで使われ、下数や上数で使われることはなかった。なお、阿僧祇は「阿僧祗」と書かれることがあるが、正しくない。阿僧祇の元のサンスクリット語(梵語)は asam.khya であり、「」ではなく「」を使うのが正しい。

その後、万万進の中数と並んで万進の中数も次第に使われ始めた。依然、中数の標準は万万進で、明の程大位による算法統宗では万万進のみを挙げるが、万進のほうが理解しやすいので広まっていったようだ。

日本で大きな数の単位を確立したのは、1627 年に初版が出た吉田光由の塵劫記じんこうきである。算法統宗を土台にしているが、単位に違いが見られる。算法統宗は万万進の中数だが、塵劫記初版では下数と万万進の組み合わせ、寛永 8 年版では万進と万万進の組み合わせ、寛永 11 年版では万進のみになる。まとめると以下のようになる。

名称
算法統宗塵劫記
初版
(1627)
寛永 8 年版
(1631)
寛永 11 年版
(1634)
100
101
102
103
104
108×1 = 108105104×2 = 108
108×2 = 1016106104×3 = 1012
108×3 = 1024107104×4 = 1016
108×4 = 1032108104×5 = 1020
108×5 = 1040109104×6 = 1024
108×6 = 10481010104×7 = 1028
108×7 = 10561011104×8 = 1032
108×8 = 10641012104×9 = 1036
108×9 = 10721013104×10 = 1040
108×10 = 10801014104×11 = 1044
108×11 = 10881015104×12 = 1048
恒河沙108×12 = 10961015+8 = 1023104×12+8 = 1056104×13 = 1052
阿僧祇108×13 = 101041015+8×2 = 1031104×12+8×2 = 1064104×14 = 1056
那由他108×14 = 101121015+8×3 = 1039104×12+8×3 = 1072104×15 = 1060
不可思議108×15 = 101201015+8×4 = 1047104×12+8×4 = 1080104×16 = 1064
無量大数--104×12+8×5 = 1088104×17 = 1068

寛永 11 年版では万進と万万進の混交を解消し、すっきりした万進の体系を完成させた。以降の版は全て万進で統一されている。今でも寛永 8 年版に基づき極以上を万万進とする説明を見かけるが、現在「十万極」などと使われることはまずないし、寛永 8 年版の位取りは寛永 11 年版で否定されているので、万進を使うべきだ。

算学啓蒙にあった不可思議の上の無量数は、寛永 8 年版から無量大数という名で組み込まれた。たまに無量大数と無限大を混同する人がいるが、両者は全くの別物である。無量大数はあくまで有限の数であり、無限大に比べれば限りなく小さい。1 から無量大数に増えても無限大への距離は全く縮まらない。また「無限大数」という表記を見ることがあるが、そのような言葉はない。

その後、寛永 20 年版から「」が誤って「[禾予]」と印刷され、読みも「序」や「舒」につられて「じょ」になった。「」に含まれる「」という字は日本では全く使われないため、間違えられたのも無理はない。中国では「」という字を使うが、日本では異体字の「姉」を用いる。これと同じように「」の代わりに「[禾市]」を使うことがあった。今ではむしろ「[禾予]じょ」が標準的となっている。このほうが「」と同音衝突しないので良い。

また、無量大数の「無量」と「大数」の間に傷がある版があり、後の版では誤って二数に分離された。この場合、無量が 1068、大数が 1072 を意味する。現在、数の単位の一覧に無量と大数に分けて挙げるものもあるが、単独では無量大数が使われることが圧倒的に多く、分けないほうが一般的である。

結局日本人の功績は、大きい単位を作ったことではなく、簡素な万進の体系を確立したことにある。日本語では万、億、兆、京、垓がそれぞれ 104, 108, 1012, 1016, 1020 を指すことは確実であり、誤解される可能性はない。中国では万進と万万進が統一されることなく近代化が始まったため混乱が生じた。さらに悪いことに、メートル法の mega (106) を訳すとき、適切な語がなかったので、廃れていた下数を使って「兆」を当ててしまった。混乱に輪をかけたのが giga, tera, peta, exa の訳で、mega を「兆」としたのに応じて順番に「京」、「垓」、「」、「穣」を当ててしまった。下数、万進の中数、万万進の中数の他にメートル法が加わったわけだ。今日では意訳ではなく音訳が用いられているが、mega の意味の「兆」は定着していたので変えられなかった。

メートル法中国語日本語
意訳音訳
deca101-デカ
hecto102-ヘクト
kilo103-キロ
mega106-メガ
giga109吉 (吉[口加])ギガ
tera1012太 (太拉)テラ
peta1015拍 (拍它)ペタ
exa1018艾 (艾可薩)エクサ
zetta1021-沢 (沢它)ゼタ
yotta1024-堯 (堯它)ヨタ

最終的に、「億」は中数の 108 の意味で定着し、「兆」は下数の 106 の意味で定着した。「億」より「兆」のほうが小さくなってしまったわけだ。中国語ではもはや「京」以上が何を意味するか確定しなくなってしまったため、1012, 1016「万億」、「億億」と呼ぶようになった。退化したという他はない。言語はただ伝統を大切にすれば良いものではない。数の位のように多義語だと混乱するものは、絶対に統一するべきなのだ。中国語で下数、万進の中数、万万進の中数のどれかを選べなかったのは失敗だった。台湾や韓国では日本式の万進が導入されていたので「兆」は 1012 のままだが、それを超える単位はあまり知られていない。

ところで、数の単位の混乱は西洋にもある。アメリカでは million, billion, trillion はそれぞれ 106, 109, 1012 を意味するが、フランス、ドイツなどでは 106, 1012, 1018 を意味する。これらが統一される気配はないが、最近はアメリカ式が優勢である。



恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思議、無量大数は仏教に由来する。仏教が取り入れたインドの数の単位は本来、中国の下数と同じ 10 倍ずつで、例えば阿僧祇は 1 から始めて 52 番目の単位、すなわち 1051 だった。ところが後の仏典ではこれらの数詞の定義が異なることがあり、途方もない数として登場することがある。

大方広仏華厳経の巻第四十五、阿僧祇品第三十には那由他、阿僧祇、無量を含む巨大な数が述べられている。華厳経では 107(千万)を意味する倶胝くてい以上は、中国の上数と同じように 2 乗すると次の単位になるので、最後は想像を絶する大きさになる。以下にその数詞を示す。一部、仏教辞典に出ていないため読み方を推測したものがある。

名称
105洛叉らくしゃ
107倶胝くてい
107×2 = 1014[广<臾]あゆた
107×22 = 1028那由他なゆた
107×23 = 1056頻波羅びんばら
107×24 = 10112矜羯羅こんがら
107×25 = 10224阿伽羅あから
107×26 = 10448最勝さいしょう
107×27 = 10896摩婆羅まばら
107×28 = 101792阿婆羅あばら
107×29 = 103584多婆羅たばら
107×210 = 107168界分かいぶん
107×211 = 1014336普摩ふま
107×212 = 1028672禰摩ねま
107×213 = 1057344阿婆[金今]あばけん
107×214 = 10114688弥伽婆みかば
107×215 = 10229376[才羅]びらか
107×216 = 10458752毘伽婆びかば
107×217 = 10917504僧羯邏摩そうがらま
107×218 = 101835008毘薩羅びさら
107×219 = 103670016毘贍婆びせんば
107×220 = 107340032毘盛伽びじょうが
107×221 = 1014680064毘素陀びすだ
107×222 = 1029360128毘婆訶びばか
107×223 = 1058720256毘薄底びばてい
107×224 = 10117440512[イ去]びきゃたん
107×225 = 10234881024称量しょうりょう
107×226 = 10469762048一持いちじ
107×227 = 10939524096異路いろ
107×228 = 101879048192顛倒てんどう
107×229 = 103758096384三末耶さんまや
107×230 = 107516192768毘睹羅びとら
107×231 = 1015032385536奚婆羅けいばら
107×232 = 1030064771072伺察しさつ
107×233 = 1060129542144周広しゅうこう
107×234 = 10120259084288高出こうしゅつ
107×235 = 10240518168576最妙さいみょう
107×236 = 10481036337152泥羅婆ないらば
107×237 = 10962072674304訶理婆かりば
107×238 = 101924145348608一動いちどう
107×239 = 103848290697216訶理蒲かりぼ
107×240 = 107696581394432訶理三かりさん
107×241 = 1015393162788864奚魯伽けいろか
107×242 = 1030786325577728[才羅]歩陀たつらほだ
107×243 = 1061572651155456訶魯那かろな
107×244 = 10123145302310912摩魯陀まろだ
107×245 = 10246290604621824懺慕陀ざんぼだ
107×246 = 10492581209243648[医殳/玉][才羅]えいらだ
107×247 = 10985162418487296摩魯摩まろま
107×248 = 101970324836974592調伏ちょうぶく
107×249 = 103940649673949184[小喬]りきょうまん
107×250 = 107881299347898368不動ふどう
107×251 = 1015762598695796736極量ごくりょう
107×252 = 1031525197391593472阿麼怛羅あまたら
107×253 = 1063050394783186944勃麼怛羅ぼまたら
107×254 = 10126100789566373888伽麼怛羅がまたら
107×255 = 10252201579132747776那麼怛羅なまたら
107×256 = 10504403158265495552奚麼怛羅けいまたら
107×257 = 101008806316530991104[革卑]麼怛羅べいまたら
107×258 = 102017612633061982208鉢羅麼怛羅はらまたら
107×259 = 104035225266123964416尸婆麼怛羅しばまたら
107×260 = 108070450532247928832翳羅えいら
107×261 = 1016140901064495857664薜羅べいら
107×262 = 1032281802128991715328諦羅たいら
107×263 = 1064563604257983430656偈羅げら
107×264 = 10129127208515966861312[穴/卒]歩羅そほら
107×265 = 10258254417031933722624泥羅ないら
107×266 = 10516508834063867445248計羅けいら
107×267 = 101033017668127734890496細羅さいら
107×268 = 102066035336255469780992睥羅へいら
107×269 = 104132070672510939561984謎羅めいら
107×270 = 108264141345021879123968[才羅]しゃらだ
107×271 = 1016528282690043758247936謎魯陀めいろだ
107×272 = 1033056565380087516495872契魯陀けいろだ
107×273 = 1066113130760175032991744摩睹羅まとら
107×274 = 10132226261520350065983488娑母羅しゃもら
107×275 = 10264452523040700131966976阿野娑あやしゃ
107×276 = 10528905046081400263933952迦麼羅かまら
107×277 = 101057810092162800527867904摩伽婆まかば
107×278 = 102115620184325601055735808阿怛羅あたら
107×279 = 104231240368651202111471616醯魯耶けいろや
107×280 = 108462480737302404222943232薜魯婆べいろば
107×281 = 1016924961474604808445886464羯羅波からは
107×282 = 1033849922949209616891772928訶婆婆かばば
107×283 = 1067699845898419233783545856毘婆羅びばら
107×284 = 10135399691796838467567091712那婆羅なばら
107×285 = 10270799383593676935134183424[才羅]まらら
107×286 = 10541598767187353870268366848娑婆羅しゃばら
107×287 = 101083197534374707740536733696[才羅]めいらふ
107×288 = 102166395068749415481073467392者麼羅しゃまら
107×289 = 104332790137498830962146934784駄麼羅だまら
107×290 = 108665580274997661924293869568[才羅]麼陀はらまだ
107×291 = 1017331160549995323848587739136毘迦摩びかま
107×292 = 1034662321099990647697175478272烏波跋多うはばた
107×293 = 1069324642199981295394350956544演説えんぜつ
107×294 = 10138649284399962590788701913088無尽むじん
107×295 = 10277298568799925181577403826176出生しゅっしょう
107×296 = 10554597137599850363154807652352無我むが
107×297 = 101109194275199700726309615304704阿畔多あばんた
107×298 = 102218388550399401452619230609408青蓮華しょうれんげ
107×299 = 104436777100798802905238461218816鉢頭摩はどま
107×2100 = 108873554201597605810476922437632僧祇そうぎ
107×2101 = 1017747108403195211620953844875264しゅ
107×2102 = 1035494216806390423241907689750528
107×2103 = 1070988433612780846483815379501056阿僧祇あそうぎ
107×2104 = 10141976867225561692967630759002112阿僧祇転あそうぎてん
107×2105 = 10283953734451123385935261518004224無量むりょう
107×2106 = 10567907468902246771870523036008448無量転むりょうてん
107×2107 = 101135814937804493543741046072016896無辺むへん
107×2108 = 102271629875608987087482092144033792無辺転むへんてん
107×2109 = 104543259751217974174964184288067584無等むとう
107×2110 = 109086519502435948349928368576135168無等転むとうてん
107×2111 = 1018173039004871896699856737152270336不可数ふかすう
107×2112 = 1036346078009743793399713474304540672不可数転ふかすうてん
107×2113 = 1072692156019487586799426948609081344不可称ふかしょう
107×2114 = 10145384312038975173598853897218162688不可称転ふかしょうてん
107×2115 = 10290768624077950347197707794436325376不可思ふかし
107×2116 = 10581537248155900694395415588872650752不可思転ふかしてん
107×2117 = 101163074496311801388790831177745301504不可量ふかりょう
107×2118 = 102326148992623602777581662355490603008不可量転ふかりょうてん
107×2119 = 104652297985247205555163324710981206016不可説ふかせつ
107×2120 = 109304595970494411110326649421962412032不可説転ふかせつてん
107×2121 = 1018609191940988822220653298843924824064不可説不可説ふかせつふかせつ
107×2122 = 1037218383881977644441306597687849648128不可説不可説転ふかせつふかせつてん

意訳と音訳が入り交じっているが、一個所だけ不統一がある。107×298青蓮華しょうれんげと訳されている。次の 107×299鉢頭摩はどまは赤い蓮の花という意味なので、紅蓮華ぐれんげにするべきだろう。

これらの単位は上数なので実用的ではないが、その巨大さには圧倒される。最後の不可説不可説転は 1 の後に 0 が 37 澗以上ある数である。指数を使わない限り、書くことすらできない。これに比べれば無量大数はちりに等しい。無量大数で数えるのをやめた我々は、釈迦しゃかの手のひらを全く出ていなかったのだ。


リンク:
目次に戻る

Copyright(C) 高杉親知 (tssf.airnet.ne.jp)